Boxplot: como interpretar e comparar a variabilidade de processos

Você já se perguntou por que, mesmo saindo de casa no mesmo horário todos os dias, nem sempre chega ao trabalho no mesmo momento? Ou por que um trajeto que normalmente leva 15 minutos pode demorar meia hora, mesmo quando você sai apenas cinco minutos mais tarde?

No dia a dia, é comum fazermos estimativas para organizar nossos compromissos com base no que costuma acontecer. Ainda assim, os resultados variam.

Essa situação cotidiana se repete no ambiente de trabalho: uma máquina pode produzir quantidades diferentes a cada turno, mesmo quando a operação parece seguir as mesmas condições.

Por isso, para compreender o desempenho de um processo, não basta olhar para um número isolado. Precisamos entender como os resultados se comportam e o quanto variam.

Essa é a importância de estudar a variabilidade dos processos. Ao compreender como os dados se distribuem, conseguimos avaliar a consistência dos resultados e identificar situações que merecem investigação.

Para entender melhor como os dados ajudam a acompanhar o desempenho de uma operação, conheça também os [indicadores de processo e sua importância na gestão].

Neste artigo, vamos explorar conceitos estatísticos que ajudam nessa análise, começando pela média e pelo desvio padrão.

Média e desvio padrão: o que eles resumem?

Imagine que você registrou a quantidade de peças produzidas em cinco períodos: 2, 4, 6, 8 e 10 peças. Como resumir esses resultados em um único número?

Média: qual é o resultado típico do conjunto?

A média aritmética é calculada somando todos os valores observados e dividindo o resultado pela quantidade de observações. Ela nos ajuda a entender o centro dos dados.

A fórmula é:

Média = X̄ = (∑x_i) /n

Em que x_i representa cada valor observado e n é a quantidade de observações.

No nosso exemplo:

X̄ = (2+4+6+8+10) /5 = 30/5 = 6

A média é de 6 peças por período.

Mas será que esse número conta toda a história? Vamos mudar apenas o último valor: em vez de 10, imagine que foram produzidas 100 peças.

Média = (2+4+6+8+100) /5= 120/5 = 24

A média saltou de 6 para 24 peças, embora quatro dos cinco valores tenham permanecido iguais. Isso mostra como uma observação muito distante das demais pode influenciar a média.

Esse comportamento não torna a média inútil. Ele nos lembra que precisamos interpretá-la considerando os dados que a compõem.

Desvio padrão: quanto os resultados variam?

Agora, vamos olhar para outra pergunta: os valores estão próximos da média ou se espalham bastante?

O desvio padrão mede a dispersão dos dados em torno da média. Quanto maior ele for, maior será a dispersão dos valores em relação a ela. Quanto menor, mais próximos da média os resultados tendem a estar.

Para calculá-lo, primeiro verificamos a diferença entre cada observação e a média. Depois, elevamos essas diferenças ao quadrado, somamos os resultados, dividimos pelo número de observações menos um, quando estamos calculando o desvio padrão amostral, e extraímos a raiz quadrada.

A fórmula do desvio padrão amostral é:

s=√ ((∑(x_i-x̄) ^2) /(n-1))

Voltando aos valores originais (2, 4, 6, 8 e 10), cuja média é 6:

Valor	Diferença para a média	Diferença ao quadrado
2	-4	16
4	-2	4
6	0	0
8	2	4
10	4	16
Total	0	40

Aplicando a fórmula:

s=√ (40/ (5-1)) =√ (40/4) =√10=3,16

O desvio padrão amostral é de aproximadamente 3,16 peças.

Agora, imagine novamente que o último valor fosse 100. A média passaria para 24 e o desvio padrão amostral aumentaria para aproximadamente 42,54 peças. Ou seja, o valor extremo afeta não apenas a média, mas também a dispersão calculada pelo desvio padrão.

Por que precisamos olhar para as duas medidas juntas?

A média nos ajuda a entender o centro dos resultados e o desvio padrão nos mostra o quanto eles se dispersam em torno desse centro. Analisar apenas uma dessas medidas pode levar a interpretações incompletas.

Imagine dois processos industriais com uma meta de produção de 100 unidades boas por turno:

• Processo A: média de 100 unidades e desvio padrão de 20.
• Processo B: média de 97 unidades e desvio padrão de 2.

O Processo A atinge a meta da média, mas seus resultados apresentam maior dispersão. Já o Processo B fica três unidades abaixo da meta, em média, mas apresenta resultados muito mais concentrados em torno de sua própria média.

Qual dos dois processos é preferível?

Depende dos requisitos do processo, mas vamos entender melhor essa diferença.

No Processo A, a média atinge a meta, mas o desvio padrão de 20 indica grande variação entre os resultados. Os valores de 80 e 120 unidades, usados aqui como ilustração, ajudam a visualizar essa dispersão.

No Processo B, a média fica três unidades abaixo da meta, mas o desvio padrão de 2 indica menor variação. Os valores ilustrativos de 95 e 99 unidades mostram resultados mais concentrados em torno da média de 97.

Observação: Os valores de 80 e 120 unidades para o Processo A e de 95 e 99 unidades para o Processo B são exemplos ilustrativos, utilizados para simplificar a explicação do impacto da variabilidade nos resultados de um processo. Eles não representam valores mínimos e máximos garantidos pelo desvio padrão. Na prática, os resultados observados dependem da distribuição dos dados e do comportamento do processo.

Um processo com menor variabilidade facilita o planejamento da produção, a programação de recursos e a definição de prazos.

Isso não significa aceitar uma produção abaixo da meta: o Processo B ainda precisa melhorar o resultado, embora sua menor variabilidade possa facilitar a investigação do desvio.

A média indica a posição do processo em relação à meta, o desvio padrão mostra o quanto os resultados variam em torno da média.

O objetivo é combinar resultados próximos da meta com baixa variabilidade.

Do número ao formato da distribuição

A média e o desvio padrão ajudam a resumir os resultados de um processo, mas não mostram todos os detalhes de como os dados estão distribuídos. Dois turnos, por exemplo, podem apresentar médias semelhantes e, ainda assim, ter diferenças na concentração dos valores, na dispersão ou na presença de observações muito distantes das demais.

Para enxergar essas diferenças, precisamos olhar além dos números resumidos e visualizar a distribuição dos dados. É nesse contexto que entra o boxplot, também conhecido como gráfico de caixa e bigodes. Ele reúne informações sobre a posição central e a dispersão dos valores em uma representação compacta, facilitando a comparação entre turnos, máquinas, linhas ou outros grupos de um processo.

O que é um boxplot e como interpretá-lo?

Boxplot é um gráfico que ajuda a avaliar a distribuição dos dados.

A caixa representa os 50% centrais dos dados. Seus limites são definidos pelo primeiro e pelo terceiro quartis, e a linha dentro da caixa indica a mediana. Os bigodes mostram a extensão dos valores que permanecem dentro dos limites estabelecidos pelo método adotado. Observações além desses limites são exibidas separadamente.

Cada elemento ajuda a responder uma pergunta:

• Mediana (Q2): qual é o valor central do grupo? Metade das observações fica abaixo ou igual a ela, e metade fica acima ou igual a ela.
• Primeiro quartil (Q1): aproximadamente 25% dos valores ficam abaixo dele.
• Terceiro quartil (Q3): aproximadamente 75% dos valores ficam abaixo dele.
• Amplitude interquartil (AIQ ou IQR): é a diferença entre Q3 e Q1. Ela mede a amplitude dos 50% centrais dos dados.
• Bigodes: mostram até onde vão os valores que não foram sinalizados pela regra adotada para identificar possíveis outliers.
• Outliers: são observações além dos limites calculados e devem ser examinadas no contexto do processo.

Como são definidos os bigodes e outliers

Neste artigo, utilizamos o método inclusivo de cálculo dos quartis, correspondente à função QUARTIL.INC do Excel. Essa convenção foi escolhida para manter os cálculos do exemplo consistentes com a planilha disponibilizada como material de apoio. [5]

Com os quartis calculados, a amplitude interquartil (AIQ) é obtida pela diferença entre o terceiro quartil (Q3) e o primeiro quartil (Q1). A regra de 1,5 × AIQ é então utilizada para sinalizar possíveis outliers, ou seja, observações que merecem uma análise mais cuidadosa. [1, 2, 4]

Amplitude interquartil:

AIQ=Q3 - Q1

Para sinalizar possíveis outliers, utiliza-se a regra de 1,5 vez a amplitude interquartil:

Limite inferior = Q1 - 1,5 × AIQ

Limite superior = Q3 + 1,5 × AIQ

Os bigodes se estendem até o menor e o maior valor observado que ainda estejam dentro desses limites. Valores além deles são mostrados separadamente como possíveis outliers.

A regra de 1,5 × AIQ sinaliza observações afastadas, não comprova, por si só, erro de registro ou causa especial.

Os quartis podem ser calculados de maneiras diferentes?

Há diferentes convenções estatísticas para calcular quartis. Por isso, dois softwares podem apresentar resultados distintos para os mesmos dados, sem que isso indique necessariamente um erro.

No Excel, por exemplo, a função QUARTIL.INC utiliza o método inclusivo, enquanto a função QUARTIL.EXC utiliza o método exclusivo.

Qual é a diferença entre os dois métodos?

• Método inclusivo (QUARTIL.INC): considera os extremos do conjunto de dados na definição das posições percentílicas. Os quartis são calculados a partir dessas posições, com interpolação quando necessário.
• Método exclusivo (QUARTIL.EXC): não inclui os extremos como posições percentílicas no cálculo. Utiliza outra regra para determinar as posições dos quartis, também com interpolação quando necessário.

Considere, por exemplo, os valores 2, 4, 6, 8 e 10. Aplicando os dois métodos, obtemos

Medida	Método inclusivo	Método exclusivo
Primeiro quartil (Q1)	4	3
Mediana (Q2)	6	6
Terceiro quartil (Q3)	8	9
Amplitude interquartil (AIQ)	4	6
Limite | Bigode Inferior	-2 |2	-6 |2
Limite | Bigode Superior	14 |2	18 |2

No exemplo, os dados são os mesmos, mas Q1, Q3, a AIQ e os limites para sinalizar possíveis outliers mudam conforme a convenção utilizada.

Qual método é melhor?

Nenhum método é universalmente superior. A escolha depende da convenção adotada e do contexto da análise.

Neste artigo, adotamos o método inclusivo, equivalente à função QUARTIL.INC do Excel, conforme a planilha de apoio.

Como interpretar um boxplot na prática

1. Observe o centro: compare as medianas para identificar diferenças na posição central dos grupos.
2. Compare a dispersão central: observe o tamanho das caixas, que representam os 50% centrais dos dados.
3. Observe a extensão dos valores: analise os bigodes e a extensão dos valores que não foram sinalizados como possíveis outliers.
4. Identifique pontos sinalizados: verifique possíveis outliers e investigue seu contexto antes de concluir que são erros ou descartá-los.
5. Interprete as diferenças com cautela: o boxplot permite comparar distribuições, mas, sozinho, não explica as causas das diferenças nem comprova que um processo é melhor.

Exemplo industrial: comparação entre três turnos

Considere um exemplo hipotético, elaborado para fins didáticos, de uma fábrica que acompanha a quantidade de unidades boas produzidas por turno. A planilha reúne 30 registros de dias comparáveis para cada um dos três turnos.

O objetivo é entender como os resultados se distribuem, comparar os turnos e identificar observações que mereçam investigação. Os dados são ilustrativos e não representam resultados reais de uma empresa.

A análise da produção também pode ser complementada por indicadores como o OEE, que reúne informações sobre disponibilidade, desempenho e qualidade dos equipamentos.

Estatísticas descritivas dos três turnos

Turno	Registros	Média	Desvio Padrão Amostral	Q1	Mediana	Q3	AIQ
Turno 1	30	1.102,90	8,88	1.096,25	1.103,50	1.109,75	13,50
Turno 2	30	999,77	7,16	996,25	1.001,00	1.004,75	8,50
Turno 3	30	1.006,87	14,93	1.000,25	1.005,00	1.009,00	8,75

Valores expressos em unidades boas produzidas por turno, exceto o desvio padrão e a amplitude interquartil, também expressos em unidades de produção.

O que o boxplot revela?

A regra de 1,5 × AIQ define limites para sinalizar possíveis outliers. Esses limites calculados não são necessariamente as extremidades dos bigodes. Os bigodes vão até os menores e maiores valores observados que permanecem dentro dos limites.

• Limites calculados Turno 1: de 1076,00 a 1130,00. Nenhum valor ultrapassa os limites.
• Limites calculados Turno 2: de 983,50 a 1017,50. O resultado de 973 unidades fica abaixo do limite inferior.
• Limites calculados Turno 3: de 987,125 a 1022,125. O resultado de 1080 unidades fica acima do limite superior.

Portanto, os valores 973 e 1080 foram sinalizados como possíveis outliers por estarem além dos limites calculados. Isso indica que merecem investigação, não que sejam necessariamente erros.

Na investigação, vale perguntar:

• O registro foi digitado e medido corretamente?
• As condições de produção eram comparáveis às dos demais registros?
• Houve alguma ocorrência operacional que mereça ser examinada?

Essas perguntas orientam a investigação, mas não estabelecem uma causa. A observação não deve ser excluída automaticamente. Essa decisão depende da conferência do registro e do contexto do processo.

A comparação das medianas mostra que o Turno 1 tem o maior valor central (1.103,50), seguido do Turno 3 (1.005,00) e do Turno 2 (1.001,00).

As caixas também diferem. O Turno 2 tem a menor amplitude interquartil (8,50), ligeiramente menor que a do Turno 3 (8,75) e menor que a do Turno 1 (13,50), indicando menor dispersão nos 50% centrais dos seus registros.

Os bigodes mostram a extensão dos valores não sinalizados, enquanto os pontos 973 no Turno 2 e 1.080 no Turno 3 destacam observações que merecem investigação. Em conjunto, essas informações descrevem diferenças de centro e dispersão, mas não determinam, isoladamente, qual turno tem o melhor desempenho operacional.

O gráfico não permite concluir, sozinho, que o turno com a maior média é necessariamente o melhor. A avaliação depende das condições de comparação e de outros aspectos do processo, como qualidade, recursos utilizados e requisitos de produção.

Pratique com a planilha de apoio

Explore os dados dos três turnos, confira os cálculos dos quartis e construa seu próprio boxplot no Excel.

Baixar planilha de apoio — Excel

Onde mais usar boxplots?

A mesma lógica pode apoiar comparações entre:

• Turnos de produção;
• Máquinas e linhas de produção;
• Métodos de trabalho;
• Matérias-primas, fornecedores e lotes;
• Resultados antes e depois de uma melhoria.

Na comparação antes e depois, o gráfico ajuda a visualizar se as distribuições parecem diferentes, mas não comprova que a intervenção causou a mudança. É preciso considerar outras evidências e as condições em que os dados foram coletados. [1, 3]

Como usar o boxplot com responsabilidade

Alguns cuidados tornam a análise mais útil para a gestão industrial: [1, 2, 3]

• Compare dados comparáveis: Use a mesma definição do indicador, unidade e período, ou condições suficientemente equivalentes.
• Observe a mediana e a caixa: Não concentre toda a análise nos pontos extremos. A caixa mostra a dispersão dos 50% centrais.
• Considere diferentes estatísticas: Média e desvio padrão, junto da mediana e da AIQ, ajudam a observar aspectos diferentes da distribuição.
• Investigue os pontos sinalizados: Use os pontos sinalizados como pistas para aprofundar a análise, sem tratá-los automaticamente como erros confirmados.
• Considere as limitações do gráfico: O boxplot resume os dados de um período e pode ocultar sequências temporais, misturas de grupos ou mudanças ocorridas dentro desse intervalo.

Conclusão

O boxplot ajuda a enxergar aspectos da variabilidade que podem passar despercebidos quando olhamos apenas para a média. Ao comparar a mediana, a amplitude dos 50% centrais, os bigodes e as observações sinalizadas, conseguimos formular perguntas melhores sobre o comportamento de um processo.

Seu papel, porém, é descrever e comparar distribuições e não identificar causas nem provar que uma melhoria funcionou. Use o gráfico junto de estatísticas descritivas, dados confiáveis e conhecimento do processo.

Quando a análise identifica oportunidades, o próximo passo é investigar o processo e transformar os dados em ações de [melhoria contínua].

Referências

• [1] NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — Box Plot. Referência técnica principal para a leitura do boxplot e a regra de identificação de observações afastadas. 
• [2] NIST/SEMATECH e-Handbook — Detection of Outliers. Apoio para explicar a sinalização de possíveis outliers e a necessidade de avaliação contextual. 
• [3] OpenStax — Introductory Statistics 2e: Box Plots. Referência didática para explicar os elementos e a leitura geral de boxplots. 
• [4] OpenStax — Introductory Statistics 2e: Measures of the Spread of the Data. Apoio para amplitude interquartil e medidas de dispersão.
• [5] Microsoft Support — Função QUARTILE.INC. Documentação oficial do Excel para o cálculo inclusivo de quartis. 
• [6] Microsoft Support — Criar um gráfico de caixa e caixa estreita. Documentação de uso do gráfico nativo do Excel e de suas opções de cálculo.